Derivata och kedjeregeln

Vissa händelseförlopp beskriver man bäst med en matematisk modell som är en sammanslagning av flera olika funktioner. Dessa funktioner kallar man för s ammansatta funktioner och de består av så kallade inre och yttre funktioner. När man deriverar dessa använder man kedjeregeln. För att tydligare se sambanden mellan olika variabler och förändringshastigheter i de sammansatta funktionerna kan man med fördel använda följande skrivsätt.

Om ballongens radi e ökar med tiden, så kommer så klart även ballongens volym att öka. Vi tittar här nedan i ett exempel på hur vi använder sambandet mellan förändringen av volymen och radien beroende av hur lång tid vi fyller ballongen med luft. Beräkningarna nedan med kedjeregeln bygger på kunskap som vi gått igenom i tidigare lektioner. Återvänd till dem om du känner dig osäker.

När vi jobbar med sammansatta funktioner och gör tillämpningar med kedjeregeln, är det viktigt att veta vilken variabel som vi deriverar med avseende på.

Derivatan av sammansatta funktioner

Vi repeterar kedjeregeln. När vi deriverar sammansatta funktioner med kedjeregeln ser vi alla andra variabler än den variabel du deriverar med avseende på, som konstanter och behandlar dem som detta. Just vid tillämpning med sammansatta funktioner är det vanligt att man använder följande skrivsätt istället. Detta för att öka tydlighet och förhoppningsvis minska förvirring mellan olika variabler i uttrycken.

Vi skriver istället. Derivatan av en sammansatt funktion ges av kedjeregeln vilken säger att. Detta skrivsätt kallas Leibniz notation och är uppkallad efter en tysk talsfilosof och matematiker vid namn Gottfried Wilhelm Leibniz. Om vi exempelvis har ett klot vars radie ökar med avseende på tiden , ökar indirekt även volymen på klotet med tiden.

Tillämpningar med kedjeregeln - E-uppgifter

Låt säga att vi vid ett experiment vill veta förändringshastigheten på volymen, men bara lyckas mäta hur snabbt radien ökar i längd. Hur gör vi då? Denna förändringshastighet skriver vi om med en inre funktion. Volymen med avseende på radien är den yttre funktionen och radien med avseende på tiden den inre.

Derivatan av sammansatta funktioner

Vi uttrycker volymens förändringshastighet med avseende på tiden med hjälp av kedjeregeln så här. Detta använder du nu för att bestämma radiens och volymens förändringshastigheter vid olika tidpunkter. Detta verkar kanske lite förvirrande till en början men ge inte upp! Jobba igen några exempel flera gånger så kommer troligtvis hitta systemet och se att det inte är så omöjligt krångligt i alla fall.

Vi löser uppgiften genom att göra en förenklad modell av ballongen, där volymen beskrivs med ett exakt klot, även om så troligen inte är fallet. Men informationen vi får utgår från förändringshastigheten på radien. Så vi använder kedjereglen och får ett samband genom att multiplicera förändringshastigheten av volymen med avseende på radien med förändringshastigheten av radien med avseende på tiden.

Ett exempel till Vi tittar på ett liknande exempel.

Kvotregeln derivata Författare: Simon Rybrand min Kedjeregeln används för att derivera sammansatta funktioner.

Derivatan av cos x Här lär du dig hur du använder kedjeregeln för att beskriva Förändringshastigheter och Derivata och yttre och inre funktioner som finns för vissa samband.

Derivera bråk Kedjeregeln är inom matematisk analys en regel för derivering av sammansatta funktioner, det vill säga, om f och g är funktioner, då anger kedjeregeln derivatan av deras sammansättning f ∘ g (funktionen som avbildar x på f (g (x)) i termer av derivator av f och g och produkten av funktioner enligt.

Andra derivata Derivata Kedjeregeln Nästa avsnitt: ÖVNINGSEXEMPEL – Tangentens Ekvation Är du under 26?

Om sidan för en kub minskar med tiden så kommer volymen för kuben förstås även den att minska. Det vill säga förändringshastigheten av volymen med avseende på tiden, är lika med förändringshastigheten av volymen med avseende på sidans längd som i sin tur förändras med avseende på tiden. Vid tillämpning motsvarar ett negativ tal en minskning och vi byter då ut minustecknet mot ordet minskar i svaret.

Grym hemsida! Kolla in denna lektion där teoritexten nämner lite om derivatans enheter. Problemlösning med Derivatan. Siv kastar en sten i sjön.